Оптимально ли применение индивидуальных образовательных программ в математике и предметах, на ней основанных

Об авторе: Анатолий Шалыто, профессор, д.т.н., Университет ИТМО.

В моём тексте «Будем ли устранять свои баги, и как учить специалистов по ИИ?» есть, в частности, такой фрагмент, который, несмотря на размеры, повторю.

О любимых многими индивидуальных образовательных программах (траекториях). Приведу авторитетные мнения по этому вопросу.

1. Вот мнение выдающегося математика академика РАН, лауреата Филдсовской премии Сергея Петровича Новикова. Это мнение он изложил в статье «Произошёл распад обязательного знания», в которой есть такие слова: «Причина упадка в математике в том, что изменился подход к обучению: к этой науке стали относиться как к гуманитарной. В математике вы должны выучить определённый набор дисциплин, без которых в этой сфере невозможно работать в принципе. И тем не менее на Западе в какой-то момент пошли по пути подражания гуманитарным наукам – предоставили студентам самим выбирать те или иные курсы. Парадокс!

Гуманитарные науки в целом – это, так сказать, мелкое море: основная трудность – в масштабе. Это море знаний огромное, но ты можешь постигать его по частям, а в математике нужно сразу идти в глубину, здесь другое понятие сложности. Математика построена по принципу пирамиды, где предыдущие этажи являются основой для следующих. Так что упадок нынешнего уровня науки во многом объясняется тем, что произошёл распад обязательного знания.

Для того чтобы стать математиком, нужно всерьёз много чего выучить, а нынешнее поколение это не устраивает: наука должна доставлять удовольствие, считают они. Это без сомнения: должна, но удовольствие не отменяет трудностей. Математику, как и теоретическую физику, учить трудно. Вот это современные молодые люди делать не хотят».

«Видимо, именно по этой причине американские профессора часто стараются брать в аспиранты молодых людей из ведущих российских университетов, так как их выпускники, например, обязательно изучали статистику, а в Америке многие её не брали, а она для научной работы часто требуется. Методически преподавание в лучших российских вузах существенно отличается от принятого в Америке, так как наше образование формирует у студентов единую математическую картину мира, а у них – лишь отдельные её фрагменты».

2. Теперь мнение ректора «Сколтеха» академика РАН Александра Петровича Кулешова: «При бесплатном образовании далеко не всегда удается внедрить технологии обучения, используемые в ведущих зарубежных вузах. Нам удалось привлечь в «Сколтех» очень квалифицированных специалистов с Запада. Мы решили выпускать по 100 человек в год, но в России своя специфика. Хотели быть маленькой копией MIT. Лучшие мировые практики собирались внедрять без изменения на нашей почве, но опыт показал, что это не так просто. Вскрылась одна забавная проблема. В США, в том числе в MIT, студент сам выбирает, чему ему учиться, из собственных соображений. Ту же систему перенесли на российскую почву, а она здесь работать не стала. Почему? На этот счёт есть теория. Годовой курс в MIT, одном из лучших вузов мира, стоит 50 тысяч долларов. Иногда их вносят родители студента, иногда футбольная команда, иногда сам MIT платит за обучение, но это всегда живые деньги, и у обучающегося этот факт прошит в мозгах. За него платят, и это его единственный шанс в жизни. Поэтому он рвёт знания «челюстями», а наши студенты учатся бесплатно, да ещё и получают стипендию. И предметы они выбирают какие попроще. Так что американскую систему обучения нам в России пришлось менять».

3. А теперь о выступлении топ-менеджера из компании JetBrains Андрея Иванова. Сначала он, как говорят сейчас многие молодые люди, «топил» за индивидуальные образовательные программ для студентов, а потом неожиданно сказал, что значительное их число может понять, чем они хотят заниматься, только после завершения обучения, да и то не всегда. Тогда как и что они могут выбирать в процессе обучения, тем более в таком юном возрасте, ведь это не фигурное катание и не скрипка?

4. Оказывается, что «в соответствии с ФГОСом (федеральный государственный образовательный стандарт – ред.) у нас в школах может проводиться обучение в идеологии системно-деятельностного подхода – с приматом деятельности над знаниями, умениями и навыками, с выбором учащимися собственной траектории обучения в соответствии с запросами и желаниями ещё не развитой личности. Нам навязывают оценку результатов обучения, построенную на самооценке личности, которая так и не сможет развиться, так как такая система обучения потакает лени, списыванию, уклонению от изучения сложных вопросов под предлогом «а как это пригодится мне в жизни?» или «мне это не интересно» (Александр Владимирович Шевкин, преподаватель математики).

5. Известный отечественный филолог Михаил Леонович Гаспаров написал, что в 1926 году на факультете общественных наук университета изучали всё на свете, в том числе узбекский язык и артиллерию. С тех пор прогресс не останавливался ни на секунду, и вместо обязательных эти предметы могли стать… предметами по выбору в индивидуальных образовательных траекториях, что уже давно характерно для некоторых даже весьма престижных американских университетов. А вот мнение Гаспарова о подобном прогрессе: «В младших классах меня били, в старших не били, поэтому я и уверовал в прогресс».

6. «Человек должен определить своё место в пространстве знаний. Это может позволить ему понять, какие зияющие пустоты он оставляет, выбирая для себя «интересное» (Анатолий Шперх).

Теперь несколько соображений по этому поводу, которые базируются на моём образовании и научных интересах.

1. Высказывание Шперха похоже на автоматное управление – сначала надо определить, в какой точке пространства состояний процесс находится и только потом, в зависимости от значений входов, действовать. Каждый человек, особенно молодой, обычно считает, что он знает, «где» он находится, и поэтому считает, что знает, какие предметы для изучения ему выбирать.

2. Но тут мне на ум приходят возможные две стратегии в логическом синтезе. Первая называется «синтезом от входов к выходу», а вторая – наоборот: «от выхода к входам».

Первая стратегия – проще: ты видишь формулу (цель) и подбираешь элементы (предметы) так, чтобы реализовать её, однако, если элементы сложны, эффективный синтез при такой стратегии практически невозможен.

Более сложной, но и более эффективной, является вторая стратегия, при использовании которой на каждом шаге осуществляется декомпозиция формулы на подформулы, проводимая в базисе используемого на этом шаге элемента. Самым важным здесь является то, что эти подформулы должны быть не такими, которые Вам нравятся, а те, которые строго определяются реализуемой формулой и формулой, описывающей элемент, используемый на этом шаге!

Вторая стратегия применительно к рассматриваемой проблеме может быть интерпретирована так: однозначно определяется цель, которую требуется достичь в процессе обучения, выбирается предмет, который приводит именно к этой цели, после этого определяются предметы, которые необходимо изучить, чтобы понять предмет, который приводит к цели, и т. д. Таким образом, как отмечено выше, в отличие от гуманитарных наук, в математике, как и в основанных на ней науках, без чётко определённой цели никакой осмысленный выбор предметов, обеспечивающих её достижение, практически невозможен.

3. И ещё в подтверждение сказанного. Среди предметов, которое я в свое время учил в вузе, было динамическое программирование (ДП) по Беллману. В нём, как и в логическом синтезе, возможны два подхода:

3.1. «Нисходящее ДП: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений уже решённых подзадач».

3.2. «Восходящее ДП: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи, просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и числа вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем».

Именно, в том, что «нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем», причём не иногда, а практически всегда, у меня на более чем 50 лет в голове застряла мысль, что оптимальное решение задачи обычно достигается при декомпозиции задачи, начиная от цели, а не наоборот.

4. В последнем вопросе я школяр, так как на практике ДП не применял, и поэтому обратился за мнением по обсуждаемому вопросу к чемпиону мира 2009 года по спортивному программированию Максиму Буздалову, который в своё время «собаку съел» в применении динамического программирования для решении алгоритмических задач.

5. Вот что мне ответил Максим: «На самом деле есть два аспекта, по которым можно разделять ДП на восходящее и нисходящее. Более традиционный аспект состоит в том, что формула вычисления ответа для подзадачи остается неизменной, что-нибудь вроде A(x) = f(A(x1), A(x2), …, A(xn)), и меняется лишь порядок вычислений: при восходящем ДП неизбежно будут вычислены ответы для всех возможных «иксов», при нисходящем ДП – это совсем необязательно (но средние вычислительные затраты на одну подзадачу будут побольше из-за рекурсивных вызовов).

На практике «ленивые вычисления», характерные для нисходящего ДП, могут существенно сократить время решения задачи, особенно если «иксы» многомерные, а подзадач в разбиении мало. Ещё один факт, о котором задумываются не очень часто, состоит в том, что не все подзадачи одинаково интересны, и иногда некоторые из них можно вообще не пытаться решать (если, например, мы объединяем ответы на подзадачи логическим «ИЛИ», то лишь одного ответа «ДА» на подзадачу достаточно, и на остальных можно сэкономить). В образовании, правда, в подобных случаях чаще бывает логическое «И» и неутешительные выводы о собственных способностях…

Чуть менее известный аспект состоит в следующем. В некоторых случаях, в отличие от классического описания ДП, выгоднее, решив подзадачу, взять получившийся ответ и сразу же раздать его подзадачам большего размера, интересующимся этой подзадачей – это тоже можно назвать «восходящим ДП», только в другом смысле. Для определённости будем называть этот вариант решения задачи «восходящим восходящим ДП». Однако так можно делать только в случае восходящего ДП в исходном смысле, ведь мы не можем предсказать, какая из этих больших подзадач в итоге кому-нибудь пригодится, поэтому делимся ответом со всеми. В том случае, когда ответы на подзадачу объединяются достаточно простым способом (например, f – это сумма, максимум или ещё что-нибудь простое), фундаментальной разницы нет, и конкретный способ реализации выбирается исходя из того, что проще/быстрее перебирать: подзадачи, которые нужны нам, или которым нужны мы.

В некоторых случаях, характерных для так называемого ДП «по ломаному профилю», «восходящее восходящее ДП» может быть асимптотически эффективнее. Однако, например, в некоторых задачах, решаемых ДП по дереву – таких, как поиск максимального паросочетания в дереве – даже части результата невозможно получить без знания решений остальных подзадач, и такое «восходящее восходящее ДП» сталкивается с труднопреодолимыми проблемами (например, резким увеличением нужного объёма памяти) и быстро становится неэффективным.

Если кратко, то восходящее ДП, без знания конкретной цели, соответствует сценарию «это мне когда-нибудь пригодится». Управление таким сценарием не требует интеллектуальных затрат ни от учащегося, ни от университета, но для подготовки качественного специалиста потребовалось бы, пожалуй, минимум утроить объём образовательных программ и время их освоения, чтобы не пропустить нужное.

Нисходящее ДП может вернуть время, требуемое для получения образования, в разумные рамки, но для этого нужно знать конкретную цель».

6. На этом я заканчиваю и жду обоснования того, в чем «мы все неправы».

Следите за нашим Телеграм-каналом, чтобы не пропускать самое важное!

Поделиться:

3 КОММЕНТАРИИ

  1. Странно, что упоминается динамическое программирование и принцип Р. Беллмана, но совсем не говорится об оптимальности траектории. Что касается новизны движения, при программировании, по оптимальной траектории, начиная с конечной, то это студенты изучали ещё с 1969 года по учебнику ТАУ Е. И. Юревича. Читаю статью, и мне становится стыдно, хотя писал не я. Почему так?

    • Может, потому, что вы анонимщик?

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Пожалуйста, введите ваш комментарий!
пожалуйста, введите ваше имя здесь